פתור את {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-10x+20y=460$$

החסר ‎20y משני אגפי המשוואה.

$$-10x=-20y+460$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎-20y+460.

$$x=2y-46$$

השתמש ב- ‎-46+2y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

הכפל את ‎30 ב- ‎-46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

הוסף את ‎60y ל- ‎60y.

$$120y-1380=1620$$

הוסף ‎1380 לשני אגפי המשוואה.

$$120y=3000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎120.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎x=2y-46. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\times 25-46$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=50-46$$

הוסף את ‎-46 ל- ‎50.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

כדי להפוך את ‎-10x ו- ‎30x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎30 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

פשט.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

החסר את ‎-300x-600y=-16200 מ- ‎-300x+600y=13800 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

הוסף את ‎-300x ל- ‎300x. האיברים ‎-300x ו- ‎300x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$600y+600y=13800+16200$$

הוסף את ‎600y ל- ‎600y.

$$1200y=13800+16200$$

הוסף את ‎13800 ל- ‎16200.

$$1200y=30000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎1200.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎30x+60y=1620. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$30x+60\times 25=1620$$

הכפל את ‎60 ב- ‎25.

$$30x+1500=1620$$

החסר ‎1500 משני אגפי המשוואה.

$$30x=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=25$$