פתור את {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

החסר ‎\frac{23y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.8, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

הכפל את ‎-1.25 ב- ‎-\frac{23y}{10}+3.6.

$$x=2.875y-4.5$$

השתמש ב- ‎\frac{23y}{8}-4.5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎1.6x-1.2y=6.4.

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

הכפל את ‎1.6 ב- ‎\frac{23y}{8}-4.5.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

הוסף את ‎\frac{23y}{5} ל- ‎-\frac{6y}{5}.

$$3.4y-7.2=6.4$$

הוסף ‎7.2 לשני אגפי המשוואה.

$$3.4y=13.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=2.875y-4.5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

הכפל את ‎2.875 ב- ‎4.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

הוסף את ‎-4.5 ל- ‎11.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

כדי להפוך את ‎-\frac{4x}{5} ו- ‎\frac{8x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1.6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-0.8.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

פשט.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

החסר את ‎-1.28x+0.96y=-5.12 מ- ‎-1.28x+3.68y=5.76 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{32x}{25} ל- ‎\frac{32x}{25}. האיברים ‎-\frac{32x}{25} ו- ‎\frac{32x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

הוסף את ‎\frac{92y}{25} ל- ‎-\frac{24y}{25}.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

הוסף את ‎5.76 ל- ‎5.12 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2.72y=10.88$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.72, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎1.6x-1.2y=6.4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

הכפל את ‎-1.2 ב- ‎4.

$$1.6x-4.8=6.4$$

הוסף ‎4.8 לשני אגפי המשוואה.

$$1.6x=11.2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=4$$