פתור את {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-0.5x+0.1y=350$$

החסר ‎\frac{y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{5}-700 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

הכפל את ‎0.4 ב- ‎\frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

הוסף את ‎\frac{2y}{25} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

הוסף ‎280 לשני אגפי המשוואה.

$$0.28y=280$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.28, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1000$$

השתמש ב- ‎1000 במקום y ב- ‎x=0.2y-700. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=0.2\times 1000-700$$

הכפל את ‎0.2 ב- ‎1000.

$$x=200-700$$

הוסף את ‎-700 ל- ‎200.

$$x=-500$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-500,y=1000$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-500,y=1000$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

כדי להפוך את ‎-\frac{x}{2} ו- ‎\frac{2x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

פשט.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

החסר את ‎-0.2x-0.1y=0 מ- ‎-0.2x+0.04y=140 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

הוסף את ‎-\frac{x}{5} ל- ‎\frac{x}{5}. האיברים ‎-\frac{x}{5} ו- ‎\frac{x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.04y+0.1y=140$$

הוסף את ‎\frac{y}{25} ל- ‎\frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.14, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1000$$

השתמש ב- ‎1000 במקום y ב- ‎0.4x+0.2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

הכפל את ‎0.2 ב- ‎1000.

$$0.4x+200=0$$

החסר ‎200 משני אגפי המשוואה.

$$0.4x=-200$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-500$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-500,y=1000$$