פתור את {l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

הוסף ‎610 לשני אגפי המשוואה.

$$-0.1x-0.7y=610$$

הוסף ‎\frac{7y}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$-0.1x=0.7y+610$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎\frac{7y}{10}+610.

$$x=-7y-6100$$

השתמש ב- ‎-7y-6100 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-0.8x+0.5y+920=0.

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

הכפל את ‎-0.8 ב- ‎-7y-6100.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

הוסף את ‎\frac{28y}{5} ל- ‎\frac{y}{2}.

$$6.1y+4880+920=0$$

הוסף את ‎4880 ל- ‎920.

$$6.1y+5800=0$$

החסר ‎5800 משני אגפי המשוואה.

$$6.1y=-5800$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎6.1, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

השתמש ב- ‎-\frac{58000}{61} במקום y ב- ‎x=-7y-6100. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-\frac{58000}{61}.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

הוסף את ‎-6100 ל- ‎\frac{406000}{61}.

$$x=\frac{33900}{61}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

כדי להפוך את ‎-\frac{x}{10} ו- ‎-\frac{4x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-0.8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-0.1.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

פשט.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

החסר את ‎0.08x-0.05y-92=0 מ- ‎0.08x+0.56y+488=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

הוסף את ‎\frac{2x}{25} ל- ‎-\frac{2x}{25}. האיברים ‎\frac{2x}{25} ו- ‎-\frac{2x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

הוסף את ‎\frac{14y}{25} ל- ‎\frac{y}{20}.

$$0.61y+488+92=0$$

הוסף את ‎488 ל- ‎92.

$$0.61y+580=0$$

החסר ‎580 משני אגפי המשוואה.

$$0.61y=-580$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.61, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

השתמש ב- ‎-\frac{58000}{61} במקום y ב- ‎-0.8x+0.5y+920=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

הכפל את ‎0.5 ב- ‎-\frac{58000}{61} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

הוסף את ‎-\frac{29000}{61} ל- ‎920.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

החסר ‎\frac{27120}{61} משני אגפי המשוואה.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.8, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{33900}{61}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$