פתור את {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 3.

$$3A+3B-B=6$$

כנס את ‎3B ו- ‎-B כדי לקבל ‎2B.

$$3A+2B=6$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 3 בחזקת 2 וקבל 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 9.

$$18A+9B-B=42$$

כנס את ‎9B ו- ‎-B כדי לקבל ‎8B.

$$18A+8B=42$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3A+2B=6$$

החסר ‎2B משני אגפי המשוואה.

$$3A=-2B+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{2B}{3}+2 במקום ‎A במשוואה השניה, ‎18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

הכפל את ‎18 ב- ‎-\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

הוסף את ‎-12B ל- ‎8B.

$$-4B+36=42$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$-4B=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{2} במקום B ב- ‎A=-\frac{2}{3}B+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=1+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎1.

$$A=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 3.

$$3A+3B-B=6$$

כנס את ‎3B ו- ‎-B כדי לקבל ‎2B.

$$3A+2B=6$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 3 בחזקת 2 וקבל 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 9.

$$18A+9B-B=42$$

כנס את ‎9B ו- ‎-B כדי לקבל ‎8B.

$$18A+8B=42$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את A+B ב- 3.

$$3A+3B-B=6$$

כנס את ‎3B ו- ‎-B כדי לקבל ‎2B.

$$3A+2B=6$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 3 בחזקת 2 וקבל 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2A+B ב- 9.

$$18A+9B-B=42$$

כנס את ‎9B ו- ‎-B כדי לקבל ‎8B.

$$18A+8B=42$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

כדי להפוך את ‎3A ו- ‎18A לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎18 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

פשט.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

החסר את ‎54A+24B=126 מ- ‎54A+36B=108 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

הוסף את ‎54A ל- ‎-54A. האיברים ‎54A ו- ‎-54A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36B-24B=108-126$$

הוסף את ‎36B ל- ‎-24B.

$$12B=108-126$$

הוסף את ‎108 ל- ‎-126.

$$12B=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{2} במקום B ב- ‎18A+8B=42. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$18A=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$A=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$