פתור את {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4+2y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

הוסף את ‎\frac{2y}{5} ל- ‎-y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

החסר ‎\frac{4}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{14}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{14}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎\frac{14}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎\frac{28}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

פשט.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

החסר את ‎5x-5y=-10 מ- ‎5x-2y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y+5y=4+10$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎5y.

$$3y=4+10$$

הוסף את ‎4 ל- ‎10.

$$3y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{14}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{14}{3} במקום y ב- ‎x-y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

הוסף ‎\frac{14}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{8}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$