פתור את {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

הוסף ‎m_{1}x לשני אגפי המשוואה.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

השתמש ב- ‎m_{1}x+am_{1}-b במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

הוסף את ‎m_{1}x ל- ‎-m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

החסר ‎am_{1}-b משני אגפי המשוואה.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

השתמש ב- ‎-a במקום x ב- ‎y=m_{1}x+am_{1}-b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

הכפל את ‎m_{1} ב- ‎-a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

הוסף את ‎am_{1}-b ל- ‎-m_{1}a.

$$y=-b$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-b,x=-a$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-b,x=-a$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

החסר את ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b מ- ‎y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎-m_{1}x ל- ‎m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎am_{1}-b ל- ‎-m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

השתמש ב- ‎-a במקום x ב- ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

הכפל את ‎-m_{2} ב- ‎-a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

החסר ‎m_{2}a משני אגפי המשוואה.

$$y=-b$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-b,x=-a$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

הוסף ‎m_{1}x לשני אגפי המשוואה.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

השתמש ב- ‎m_{1}x+am_{1}-b במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

הוסף את ‎m_{1}x ל- ‎-m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

החסר ‎am_{1}-b משני אגפי המשוואה.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

השתמש ב- ‎-a במקום x ב- ‎y=m_{1}x+am_{1}-b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

הכפל את ‎m_{1} ב- ‎-a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

הוסף את ‎am_{1}-b ל- ‎-m_{1}a.

$$y=-b$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-b,x=-a$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-b,x=-a$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{1} ב- x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

החסר ‎m_{1}x משני האגפים.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את m_{2} ב- x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

החסר ‎m_{2}x משני האגפים.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

החסר ‎b משני האגפים.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

החסר את ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b מ- ‎y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎-m_{1}x ל- ‎m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

הוסף את ‎am_{1}-b ל- ‎-m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

השתמש ב- ‎-a במקום x ב- ‎y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

הכפל את ‎-m_{2} ב- ‎-a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

החסר ‎m_{2}a משני אגפי המשוואה.

$$y=-b$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-b,x=-a$$