פתור את {l}{text{(1)}8x+4y=16}{text{(2)}2(x-2y)=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 8 x + 4 y = 16 } \\ { \text { (2) } 2 ( x - 2 y ) = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$x-2y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+4y=16$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-4y+16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-4y+16.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=2.

$$-\frac{1}{2}y+2-2y=2$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{5}{2}y+2=2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$x-2y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{8\left(-2\right)-4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 16+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{20}\times 16-\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2 כדי לקבל ‎2.

$$x-2y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$8x+4y=16,8x+8\left(-2\right)y=8\times 2$$

פשט.

$$8x+4y=16,8x-16y=16$$

החסר את ‎8x-16y=16 מ- ‎8x+4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+4y+16y=16-16$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+16y=16-16$$

הוסף את ‎4y ל- ‎16y.

$$20y=16-16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-16.

$$20y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x-2y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=0$$