פתור את {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y+2z=4\times 3$$

הכפל את ‎4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎12.

$$y+2z=12$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

הכפל את ‎2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎14.

$$5y+14z=48$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+2z=12$$

החסר ‎2z משני אגפי המשוואה.

$$y=-2z+12$$

השתמש ב- ‎-2z+12 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

הוסף את ‎-10z ל- ‎14z.

$$4z+60=48$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$4z=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$z=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום z ב- ‎y=-2z+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$y=6+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎6.

$$y=18$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=18,z=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y+2z=4\times 3$$

הכפל את ‎4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎12.

$$y+2z=12$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

הכפל את ‎2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎14.

$$5y+14z=48$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- z.

$$y=18,z=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y+2z=4\times 3$$

הכפל את ‎4 ו- ‎3 כדי לקבל ‎12.

$$y+2z=12$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

הכפל את ‎2 ו- ‎7 כדי לקבל ‎14.

$$5y+14z=48$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎5y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

פשט.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

החסר את ‎5y+14z=48 מ- ‎5y+10z=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-5y. האיברים ‎5y ו- ‎-5y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10z-14z=60-48$$

הוסף את ‎10z ל- ‎-14z.

$$-4z=60-48$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-48.

$$-4z=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$z=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום z ב- ‎5y+14z=48. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

הכפל את ‎14 ב- ‎-3.

$$5y-42=48$$

הוסף ‎42 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=18$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=18,z=-3$$