פתור את {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎92.

$$x+92y=5336$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎79.

$$79x-y=4503$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+92y=5336$$

החסר ‎92y משני אגפי המשוואה.

$$x=-92y+5336$$

השתמש ב- ‎-92y+5336 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎79x-y=4503.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

הכפל את ‎79 ב- ‎-92y+5336.

$$-7268y+421544-y=4503$$

הוסף את ‎-7268y ל- ‎-y.

$$-7269y+421544=4503$$

החסר ‎421544 משני אגפי המשוואה.

$$-7269y=-417041$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

השתמש ב- ‎\frac{417041}{7269} במקום y ב- ‎x=-92y+5336. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

הכפל את ‎-92 ב- ‎\frac{417041}{7269}.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

הוסף את ‎5336 ל- ‎-\frac{38367772}{7269}.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎92.

$$x+92y=5336$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎79.

$$79x-y=4503$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎92.

$$x+92y=5336$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎79.

$$79x-y=4503$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎79x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎79 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

פשט.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

החסר את ‎79x-y=4503 מ- ‎79x+7268y=421544 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

הוסף את ‎79x ל- ‎-79x. האיברים ‎79x ו- ‎-79x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7268y+y=421544-4503$$

הוסף את ‎7268y ל- ‎y.

$$7269y=421544-4503$$

הוסף את ‎421544 ל- ‎-4503.

$$7269y=417041$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7269.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

השתמש ב- ‎\frac{417041}{7269} במקום y ב- ‎79x-y=4503. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

הוסף ‎\frac{417041}{7269} לשני אגפי המשוואה.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎79.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$