פתור את {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎47.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

הכפל את ‎47 ב- ‎-y+86.

$$x=-47y+4042$$

השתמש ב- ‎-47y+4042 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

הוסף את ‎-47y ל- ‎\frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

החסר ‎4042 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{1174}{25}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

השתמש ב- ‎\frac{99825}{1174} במקום y ב- ‎x=-47y+4042. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

הכפל את ‎-47 ב- ‎\frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

הוסף את ‎4042 ל- ‎-\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{47} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{47}.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

פשט.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

החסר את ‎\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} מ- ‎\frac{1}{47}x+y=86 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

הוסף את ‎\frac{x}{47} ל- ‎-\frac{x}{47}. האיברים ‎\frac{x}{47} ו- ‎-\frac{x}{47} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

הוסף את ‎y ל- ‎-\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

הוסף את ‎86 ל- ‎-\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{1174}{1175}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

השתמש ב- ‎\frac{99825}{1174} במקום y ב- ‎x+\frac{1}{25}y=49. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎\frac{99825}{1174} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

החסר ‎\frac{3993}{1174} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$