פתור את {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎36.

$$x-36y=756$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-36y=756$$

הוסף ‎36y לשני אגפי המשוואה.

$$x=36y+756$$

השתמש ב- ‎756+36y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

הכפל את ‎20 ב- ‎756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

הוסף את ‎720y ל- ‎-y.

$$719y+15120=320$$

החסר ‎15120 משני אגפי המשוואה.

$$719y=-14800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

השתמש ב- ‎-\frac{14800}{719} במקום y ב- ‎x=36y+756. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

הכפל את ‎36 ב- ‎-\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

הוסף את ‎756 ל- ‎-\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎36.

$$x-36y=756$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎36.

$$x-36y=756$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎20x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎20 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

פשט.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

החסר את ‎20x-y=320 מ- ‎20x-720y=15120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-720y+y=15120-320$$

הוסף את ‎-720y ל- ‎y.

$$-719y=15120-320$$

הוסף את ‎15120 ל- ‎-320.

$$-719y=14800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

השתמש ב- ‎-\frac{14800}{719} במקום y ב- ‎20x-y=320. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

החסר ‎\frac{14800}{719} משני אגפי המשוואה.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$