פתור את {l}{x/33-y=26}{x-y/88=66}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎33.

$$x-33y=858$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎88.

$$88x-y=5808$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-33y=858$$

הוסף ‎33y לשני אגפי המשוואה.

$$x=33y+858$$

השתמש ב- ‎858+33y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎88x-y=5808.

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

הכפל את ‎88 ב- ‎858+33y.

$$2904y+75504-y=5808$$

הוסף את ‎2904y ל- ‎-y.

$$2903y+75504=5808$$

החסר ‎75504 משני אגפי המשוואה.

$$2903y=-69696$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

השתמש ב- ‎-\frac{69696}{2903} במקום y ב- ‎x=33y+858. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

הכפל את ‎33 ב- ‎-\frac{69696}{2903}.

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

הוסף את ‎858 ל- ‎-\frac{2299968}{2903}.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎33.

$$x-33y=858$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎88.

$$88x-y=5808$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎33.

$$x-33y=858$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎88.

$$88x-y=5808$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎88x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎88 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

פשט.

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

החסר את ‎88x-y=5808 מ- ‎88x-2904y=75504 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

הוסף את ‎88x ל- ‎-88x. האיברים ‎88x ו- ‎-88x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2904y+y=75504-5808$$

הוסף את ‎-2904y ל- ‎y.

$$-2903y=75504-5808$$

הוסף את ‎75504 ל- ‎-5808.

$$-2903y=69696$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2903.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

השתמש ב- ‎-\frac{69696}{2903} במקום y ב- ‎88x-y=5808. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

החסר ‎\frac{69696}{2903} משני אגפי המשוואה.

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎88.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$