פתור את {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=48$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3x+5y=15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=48$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+24 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-6.

$$x=-9+24$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-9.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=48$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3x+5y=15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=15,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x-3y=48$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3.

$$3x+5y=15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

פשט.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

החסר את ‎6x+10y=30 מ- ‎6x-9y=144 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-10y=144-30$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-10y.

$$-19y=144-30$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-30.

$$-19y=114$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎3x+5y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-6.

$$3x-30=15$$

הוסף ‎30 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=-6$$