פתור את {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,5.

$$5x+3y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

הכפל את ‎-6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-12.

$$5x-12y=-120$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=105$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+105$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{5}+21 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-12y.

$$-15y+105=-120$$

החסר ‎105 משני אגפי המשוואה.

$$-15y=-225$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎15.

$$x=-9+21$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-9.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,5.

$$5x+3y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

הכפל את ‎-6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-12.

$$5x-12y=-120$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,5.

$$5x+3y=105$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 30, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

הכפל את ‎-6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎-12.

$$5x-12y=-120$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

החסר את ‎5x-12y=-120 מ- ‎5x+3y=105 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+12y=105+120$$

הוסף את ‎3y ל- ‎12y.

$$15y=105+120$$

הוסף את ‎105 ל- ‎120.

$$15y=225$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎5x-12y=-120. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-12\times 15=-120$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎15.

$$5x-180=-120$$

הוסף ‎180 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=15$$