פתור את {l}{x/3+y/2=8}{x/5+y/6=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=15$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

החסר ‎\frac{y}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{2}+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+24 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-\frac{3y}{2}+24.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{10} ל- ‎\frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

החסר ‎\frac{24}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{15}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎6.

$$x=-9+24$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-9.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=15,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{3} ו- ‎\frac{x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{3}.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

פשט.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

החסר את ‎\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} מ- ‎\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{x}{15} ל- ‎-\frac{x}{15}. האיברים ‎\frac{x}{15} ו- ‎-\frac{x}{15} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{y}{10} ל- ‎-\frac{y}{18}.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{5} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{45}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎6.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{5}x=3$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=6$$