פתור את {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

החסר ‎\frac{y}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+20 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=10$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎30.

$$x=-20+20$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-20.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

פשט.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

החסר את ‎\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 מ- ‎\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

הוסף את ‎\frac{x}{2} ל- ‎-\frac{x}{2}. האיברים ‎\frac{x}{2} ו- ‎-\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

הוסף את ‎\frac{y}{3} ל- ‎-\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x+y=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+30=30$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=30$$