פתור את {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 36, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

פתור את ‎3x+4y=1 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=1$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

‎-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} בריבוע.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

הוסף את ‎9y^{2} ל- ‎\frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} במקום a, ב- 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 במקום b, וב- -\frac{320}{9} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

‎4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

הכפל את ‎-\frac{580}{9} ב- ‎-\frac{320}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

הוסף את ‎\frac{1024}{81} ל- ‎\frac{185600}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

ההופכי של ‎4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 הוא ‎\frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{32}{9} ל- ‎48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

חלק את ‎\frac{464}{9} ב- ‎\frac{290}{9} על-ידי הכפלת ‎\frac{464}{9} בהופכי של ‎\frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎48 מ- ‎\frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

חלק את ‎-\frac{400}{9} ב- ‎\frac{290}{9} על-ידי הכפלת ‎-\frac{400}{9} בהופכי של ‎\frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{8}{5} ו- ‎-\frac{40}{29}. השתמש ב- ‎\frac{8}{5} במקום ‎y במשוואה ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎\frac{8}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} ל- ‎\frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

כעת השתמש ב- ‎-\frac{40}{29} במקום ‎y במשוואה x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{40}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) ל- ‎\frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$