פתור את {l}{x^2/4+y^2/2=1}{y=k(x-1)}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { y = k ( x - 1 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}-1\right)}{2k^{2}+1}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 4, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את k ב- x-1.

$$y=kx-k$$

השתמש ב- ‎kx-k במקום ‎y במשוואה השניה, ‎x^{2}+2y^{2}=4.

$$x^{2}+2\left(kx-k\right)^{2}=4$$

‎kx-k בריבוע.

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2\left(-k\right)kx+\left(-k\right)^{2}\right)=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎k^{2}x^{2}+2\left(-k\right)kx+\left(-k\right)^{2}.

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}=4$$

הוסף את ‎x^{2} ל- ‎2k^{2}x^{2}.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+2k^{2} במקום a, ב- 2\times 2k\left(-k\right) במקום b, וב- 2k^{2}-4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{\left(4\left(-k\right)k\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

‎2\times 2k\left(-k\right) בריבוע.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+2k^{2}.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎-4-8k^{2} ב- ‎2k^{2}-4.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}+16+24k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

הוסף את ‎16k^{4} ל- ‎16+24k^{2}-16k^{4}.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{24k^{2}+16}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 24k^{2}+16.

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±2\sqrt{6k^{2}+4}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+2k^{2}.

$$x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4k^{2} ל- ‎2\sqrt{6k^{2}+4}.

$$x=\frac{4k^{2}+2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

חלק את ‎4k^{2}+2\sqrt{6k^{2}+4} ב- ‎2+4k^{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{6k^{2}+4} מ- ‎4k^{2}.

$$x=\frac{4k^{2}-2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

חלק את ‎4k^{2}-2\sqrt{6k^{2}+4} ב- ‎2+4k^{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎x‏: ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} ו- ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}}. השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} במקום ‎x במשוואה ‎y=kx-k כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=k\times \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}-k$$

הכפל את ‎k ב- ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}}.

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} במקום ‎x במשוואה y=kx-k ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=k\times \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}-k$$

הכפל את ‎k ב- ‎\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}}.

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k,x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k,x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}-1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{k^{2}-2}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{-k^{2}-2}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$