פתור את {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

החסר את 2 מ- -3 כדי לקבל -5.

$$3x+5y-5=54$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$3x+5y=54+5$$

חבר את ‎54 ו- ‎5 כדי לקבל ‎59.

$$3x+5y=59$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$2x+1+3y=48$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$2x+3y=48-1$$

החסר את 1 מ- 48 כדי לקבל 47.

$$2x+3y=47$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=59$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+59$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+59}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

החסר ‎\frac{118}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-23$$

השתמש ב- ‎-23 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎-23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

הוסף את ‎\frac{59}{3} ל- ‎\frac{115}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=58$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=58,y=-23$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

החסר את 2 מ- -3 כדי לקבל -5.

$$3x+5y-5=54$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$3x+5y=54+5$$

חבר את ‎54 ו- ‎5 כדי לקבל ‎59.

$$3x+5y=59$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$2x+1+3y=48$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$2x+3y=48-1$$

החסר את 1 מ- 48 כדי לקבל 47.

$$2x+3y=47$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=58,y=-23$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

החסר את 2 מ- -3 כדי לקבל -5.

$$3x+5y-5=54$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$3x+5y=54+5$$

חבר את ‎54 ו- ‎5 כדי לקבל ‎59.

$$3x+5y=59$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$2x+1+3y=48$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$2x+3y=48-1$$

החסר את 1 מ- 48 כדי לקבל 47.

$$2x+3y=47$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

פשט.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

החסר את ‎6x+9y=141 מ- ‎6x+10y=118 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-9y=118-141$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-9y.

$$y=118-141$$

הוסף את ‎118 ל- ‎-141.

$$y=-23$$

השתמש ב- ‎-23 במקום y ב- ‎2x+3y=47. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-23.

$$2x-69=47$$

הוסף ‎69 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=116$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=58$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=58,y=-23$$