פתור את {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

כנס את ‎18x ו- ‎-15x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$3x+8y+33+6y=78$$

כנס את ‎8y ו- ‎6y כדי לקבל ‎14y.

$$3x+14y+33=78$$

החסר ‎33 משני האגפים.

$$3x+14y=78-33$$

החסר את 33 מ- 78 כדי לקבל 45.

$$3x+14y=45$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+14y=45$$

החסר ‎14y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-14y+45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

השתמש ב- ‎-\frac{14y}{3}+15 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

הכפל את ‎13 ב- ‎-\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

הוסף את ‎-\frac{182y}{3} ל- ‎-7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

החסר ‎195 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{203}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{14}{3}y+15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

הכפל את ‎-\frac{14}{3} ב- ‎3.

$$x=-14+15$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-14.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

כנס את ‎18x ו- ‎-15x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$3x+8y+33+6y=78$$

כנס את ‎8y ו- ‎6y כדי לקבל ‎14y.

$$3x+14y+33=78$$

החסר ‎33 משני האגפים.

$$3x+14y=78-33$$

החסר את 33 מ- 78 כדי לקבל 45.

$$3x+14y=45$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

כנס את ‎18x ו- ‎-15x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

הוסף ‎6y משני הצדדים.

$$3x+8y+33+6y=78$$

כנס את ‎8y ו- ‎6y כדי לקבל ‎14y.

$$3x+14y+33=78$$

החסר ‎33 משני האגפים.

$$3x+14y=78-33$$

החסר את 33 מ- 78 כדי לקבל 45.

$$3x+14y=45$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎13x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎13 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

פשט.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

החסר את ‎39x-21y=-24 מ- ‎39x+182y=585 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

הוסף את ‎39x ל- ‎-39x. האיברים ‎39x ו- ‎-39x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$182y+21y=585+24$$

הוסף את ‎182y ל- ‎21y.

$$203y=585+24$$

הוסף את ‎585 ל- ‎24.

$$203y=609$$

חלק את שני האגפים ב- ‎203.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎13x-7y=-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$13x-7\times 3=-8$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎3.

$$13x-21=-8$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$13x=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$