פתור את {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=2\times 2$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=4$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x.

$$y+1=-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+1+2x=0$$

החסר ‎1 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y+2x=-1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4-y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{4-y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-11$$

השתמש ב- ‎-11 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-11.

$$x=\frac{11+4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎\frac{11}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=2\times 2$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=4$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x.

$$y+1=-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+1+2x=0$$

החסר ‎1 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y+2x=-1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=2\times 2$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=4$$

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x.

$$y+1=-2x$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+1+2x=0$$

החסר ‎1 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y+2x=-1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

החסר את ‎2x+y=-1 מ- ‎3x+y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-2x+y-y=4+1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-2x=4+1$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-2x.

$$x=4+1$$

הוסף את ‎4 ל- ‎1.

$$x=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום x ב- ‎2x+y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\times 5+y=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$10+y=-1$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$y=-11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-11$$