פתור את {l}{3a+1/4-4b-1/7=1}{a+1/3-b+2/4=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 a + 1 } { 4 } - \frac { 4 b - 1 } { 7 } = 1 } \\ { \frac { a + 1 } { 3 } - \frac { b + 2 } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=173$$

$$b=226$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 28, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

חבר את ‎7 ו- ‎4 כדי לקבל ‎11.

$$21a+11-16b=28$$

החסר ‎11 משני האגפים.

$$21a-16b=28-11$$

החסר את 11 מ- 28 כדי לקבל 17.

$$21a-16b=17$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$4a-2-3b=12$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$4a-3b=12+2$$

חבר את ‎12 ו- ‎2 כדי לקבל ‎14.

$$4a-3b=14$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$21a-16b=17$$

הוסף ‎16b לשני אגפי המשוואה.

$$21a=16b+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$a=\frac{1}{21}\left(16b+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{21} ב- ‎16b+17.

$$a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}$$

השתמש ב- ‎\frac{16b+17}{21} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎4a-3b=14.

$$4\left(\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}\right)-3b=14$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{16b+17}{21}.

$$\frac{64}{21}b+\frac{68}{21}-3b=14$$

הוסף את ‎\frac{64b}{21} ל- ‎-3b.

$$\frac{1}{21}b+\frac{68}{21}=14$$

החסר ‎\frac{68}{21} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{21}b=\frac{226}{21}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎21.

$$b=226$$

השתמש ב- ‎226 במקום b ב- ‎a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{16}{21}\times 226+\frac{17}{21}$$

הכפל את ‎\frac{16}{21} ב- ‎226.

$$a=\frac{3616+17}{21}$$

הוסף את ‎\frac{17}{21} ל- ‎\frac{3616}{21} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=173$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=173,b=226$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 28, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

חבר את ‎7 ו- ‎4 כדי לקבל ‎11.

$$21a+11-16b=28$$

החסר ‎11 משני האגפים.

$$21a-16b=28-11$$

החסר את 11 מ- 28 כדי לקבל 17.

$$21a-16b=17$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$4a-2-3b=12$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$4a-3b=12+2$$

חבר את ‎12 ו- ‎2 כדי לקבל ‎14.

$$4a-3b=14$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&-\frac{-16}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\\-\frac{4}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&\frac{21}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&16\\-4&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 17+16\times 14\\-4\times 17+21\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}173\\226\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=173,b=226$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 28, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 7 ב- 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

חבר את ‎7 ו- ‎4 כדי לקבל ‎11.

$$21a+11-16b=28$$

החסר ‎11 משני האגפים.

$$21a-16b=28-11$$

החסר את 11 מ- 28 כדי לקבל 17.

$$21a-16b=17$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

החסר את 6 מ- 4 כדי לקבל -2.

$$4a-2-3b=12$$

הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$4a-3b=12+2$$

חבר את ‎12 ו- ‎2 כדי לקבל ‎14.

$$4a-3b=14$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

כדי להפוך את ‎21a ו- ‎4a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎21.

$$4\times 21a+4\left(-16\right)b=4\times 17,21\times 4a+21\left(-3\right)b=21\times 14$$

פשט.

$$84a-64b=68,84a-63b=294$$

החסר את ‎84a-63b=294 מ- ‎84a-64b=68 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$84a-84a-64b+63b=68-294$$

הוסף את ‎84a ל- ‎-84a. האיברים ‎84a ו- ‎-84a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-64b+63b=68-294$$

הוסף את ‎-64b ל- ‎63b.

$$-b=68-294$$

הוסף את ‎68 ל- ‎-294.

$$-b=-226$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$b=226$$

השתמש ב- ‎226 במקום b ב- ‎4a-3b=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$4a-3\times 226=14$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎226.

$$4a-678=14$$

הוסף ‎678 לשני אגפי המשוואה.

$$4a=692$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=173$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=173,b=226$$