פתור את {l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=21$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

החסר ‎\frac{y}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{y}{7}+9.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{3y}{14}+\frac{27}{2}.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

הוסף את ‎-\frac{y}{14} ל- ‎-\frac{5y}{7}.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{14}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{14} ב- ‎21.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

הוסף את ‎\frac{27}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

כדי להפוך את ‎\frac{2x}{3} ו- ‎\frac{x}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{2}{3}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

פשט.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

החסר את ‎\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 מ- ‎\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

הוסף את ‎\frac{2x}{9} ל- ‎-\frac{2x}{9}. האיברים ‎\frac{2x}{9} ו- ‎-\frac{2x}{9} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

הוסף את ‎\frac{y}{21} ל- ‎\frac{10y}{21}.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

הוסף את ‎3 ל- ‎8.

$$\frac{11}{21}y=11$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{21}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

הכפל את ‎-\frac{5}{7} ב- ‎21.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=3$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=21$$