פתור את {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎100.

$$108x+110y=100800$$

שקול את המשוואה השניה. צמצם את השבר ‎\frac{110}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

צמצם את השבר ‎\frac{108}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$108x+110y=100800$$

החסר ‎110y משני אגפי המשוואה.

$$108x=-110y+100800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{108} ב- ‎-110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

הכפל את ‎\frac{11}{10} ב- ‎-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

הוסף את ‎-\frac{121y}{108} ל- ‎\frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

החסר ‎\frac{3080}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{109}{2700}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3600}{109} במקום y ב- ‎x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{55}{54} ב- ‎-\frac{3600}{109} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2800}{3} ל- ‎\frac{11000}{327} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{105400}{109}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎100.

$$108x+110y=100800$$

שקול את המשוואה השניה. צמצם את השבר ‎\frac{110}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

צמצם את השבר ‎\frac{108}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎100.

$$108x+110y=100800$$

שקול את המשוואה השניה. צמצם את השבר ‎\frac{110}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

צמצם את השבר ‎\frac{108}{100} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

כדי להפוך את ‎108x ו- ‎\frac{11x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{11}{10} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

פשט.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

החסר את ‎\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 מ- ‎\frac{594}{5}x+121y=110880 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

הוסף את ‎\frac{594x}{5} ל- ‎-\frac{594x}{5}. האיברים ‎\frac{594x}{5} ו- ‎-\frac{594x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

הוסף את ‎121y ל- ‎-\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

הוסף את ‎110880 ל- ‎-111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{109}{25}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3600}{109} במקום y ב- ‎\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

הכפל את ‎\frac{27}{25} ב- ‎-\frac{3600}{109} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

הוסף ‎\frac{3888}{109} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{105400}{109}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$