פתור את {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎1+2y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

החסר ‎8x משני האגפים.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

כנס את ‎6x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

הוסף ‎20y משני הצדדים.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

כנס את ‎-2y ו- ‎20y כדי לקבל ‎18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$-2x+18y=-21+1$$

חבר את ‎-21 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-20.

$$-2x+18y=-20$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+18y=-20$$

החסר ‎18y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-18y-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-18y-20.

$$x=9y+10$$

השתמש ב- ‎9y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

הוסף את ‎\frac{9y}{5} ל- ‎\frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{73}{35}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=9y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-1.

$$x=-9+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-9.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎1+2y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

החסר ‎8x משני האגפים.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

כנס את ‎6x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

הוסף ‎20y משני הצדדים.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

כנס את ‎-2y ו- ‎20y כדי לקבל ‎18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$-2x+18y=-21+1$$

חבר את ‎-21 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-20.

$$-2x+18y=-20$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎1+2y, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

החסר ‎8x משני האגפים.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

כנס את ‎6x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

הוסף ‎20y משני הצדדים.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

כנס את ‎-2y ו- ‎20y כדי לקבל ‎18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

הוסף ‎1 משני הצדדים.

$$-2x+18y=-21+1$$

חבר את ‎-21 ו- ‎1 כדי לקבל ‎-20.

$$-2x+18y=-20$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎\frac{x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

פשט.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

החסר את ‎-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} מ- ‎-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{5} ל- ‎\frac{2x}{5}. האיברים ‎-\frac{2x}{5} ו- ‎\frac{2x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

הוסף את ‎\frac{18y}{5} ל- ‎\frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{146}{35}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

הכפל את ‎\frac{2}{7} ב- ‎-1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

הוסף ‎\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$