פתור את {l}{1/2x+1/3y=13}{1/3x+1/8y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 13 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 8 } y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13$$

החסר ‎\frac{y}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+13$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+13\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{y}{3}+13.

$$x=-\frac{2}{3}y+26$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+26 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+26\right)+\frac{1}{8}y=5$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{2y}{3}+26.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{26}{3}+\frac{1}{8}y=5$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{9} ל- ‎\frac{y}{8}.

$$-\frac{7}{72}y+\frac{26}{3}=5$$

החסר ‎\frac{26}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{72}y=-\frac{11}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{72}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{264}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{264}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+26. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{264}{7}+26$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{264}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{176}{7}+26$$

הוסף את ‎26 ל- ‎-\frac{176}{7}.

$$x=\frac{6}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}&\frac{48}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{72}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{7}\times 13+\frac{48}{7}\times 5\\\frac{48}{7}\times 13-\frac{72}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{264}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=13,\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎\frac{x}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\times 13,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{2}\times 5$$

פשט.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2}$$

החסר את ‎\frac{1}{6}x+\frac{1}{16}y=\frac{5}{2} מ- ‎\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{13}{3} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{x}{6} ל- ‎-\frac{x}{6}. האיברים ‎\frac{x}{6} ו- ‎-\frac{x}{6} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{16}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{y}{9} ל- ‎-\frac{y}{16}.

$$\frac{7}{144}y=\frac{13}{3}-\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{13}{3} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{7}{144}y=\frac{11}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{144}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{264}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{264}{7} במקום y ב- ‎\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}\times \frac{264}{7}=5$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎\frac{264}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{1}{3}x+\frac{33}{7}=5$$

החסר ‎\frac{33}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{7}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{6}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{264}{7}$$