פתור את {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+2y=9$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-2y+9.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-y+\frac{9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-7y=21.

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-y+\frac{9}{2}.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-7y.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

החסר ‎\frac{27}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{4} במקום y ב- ‎x=-y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎\frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{21}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

פשט.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

החסר את ‎6x-14y=42 מ- ‎6x+6y=27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+14y=27-42$$

הוסף את ‎6y ל- ‎14y.

$$20y=27-42$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-42.

$$20y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=-\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{4} במקום y ב- ‎3x-7y=21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

החסר ‎\frac{21}{4} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{63}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{21}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$