פתור את {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎15 משני האגפים.

$$y-3x=10-15$$

החסר את 15 מ- 10 כדי לקבל -5.

$$y-3x=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$6-4x-y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-4x-y=-6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-3x=-5$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$y=3x-5$$

השתמש ב- ‎3x-5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎-4x.

$$-7x+5=-6$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=\frac{11}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{7} במקום x ב- ‎y=3x-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎\frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎15 משני האגפים.

$$y-3x=10-15$$

החסר את 15 מ- 10 כדי לקבל -5.

$$y-3x=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$6-4x-y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-4x-y=-6$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎15 משני האגפים.

$$y-3x=10-15$$

החסר את 15 מ- 10 כדי לקבל -5.

$$y-3x=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$6-4x-y=0$$

החסר ‎6 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$-4x-y=-6$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

פשט.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

החסר את ‎-y-4x=-6 מ- ‎-y+3x=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x+4x=5+6$$

הוסף את ‎3x ל- ‎4x.

$$7x=5+6$$

הוסף את ‎5 ל- ‎6.

$$7x=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{11}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{7} במקום x ב- ‎-y-4x=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

הוסף ‎\frac{44}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$-y=\frac{2}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$