פתור את {c}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎0.5x משני האגפים.

$$y-0.5x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-0.5x=2$$

הוסף ‎\frac{x}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=0.5x+2$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{2}+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

הוסף את ‎\frac{3x}{2} ל- ‎x.

$$2.5x+6=1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2.5x=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎y=0.5x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

הכפל את ‎0.5 ב- ‎-2.

$$y=-1+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-1.

$$y=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=1,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎0.5x משני האגפים.

$$y-0.5x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=1,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎0.5x משני האגפים.

$$y-0.5x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

פשט.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

החסר את ‎3y+x=1 מ- ‎3y-1.5x=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-1.5x-x=6-1$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{2} ל- ‎-x.

$$-2.5x=6-1$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-1.

$$-2.5x=5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-2.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎3y+x=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y-2=1$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=1,x=-2$$