פתור את {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=6$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y+6$$

השתמש ב- ‎6+3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x-y=6.

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

הוסף את ‎-24y ל- ‎-y.

$$-25y-48=6$$

הוסף ‎48 לשני אגפי המשוואה.

$$-25y=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

השתמש ב- ‎-\frac{54}{25} במקום y ב- ‎x=3y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

פשט.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

החסר את ‎-8x-y=6 מ- ‎-8x+24y=-48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y+y=-48-6$$

הוסף את ‎24y ל- ‎y.

$$25y=-48-6$$

הוסף את ‎-48 ל- ‎-6.

$$25y=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

השתמש ב- ‎-\frac{54}{25} במקום y ב- ‎-8x-y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

החסר ‎\frac{54}{25} משני אגפי המשוואה.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{12}{25}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$