פתור את {c}{x=y+9}{7x-2y=57}

$$\left. \begin{array} { c } { x = y + 9 } \\ { 7 x - 2 y = 57 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{39}{5} = 7\frac{4}{5} = 7.8$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=9,7x-2y=57$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=9$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+9$$

השתמש ב- ‎y+9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-2y=57.

$$7\left(y+9\right)-2y=57$$

הכפל את ‎7 ב- ‎y+9.

$$7y+63-2y=57$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-2y.

$$5y+63=57$$

החסר ‎63 משני אגפי המשוואה.

$$5y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{6}{5} במקום y ב- ‎x=y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{6}{5}+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-\frac{6}{5}.

$$x=\frac{39}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=9,7x-2y=57$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{-2-\left(-7\right)}&\frac{1}{-2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{7}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\57\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 57\\-\frac{7}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 57\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=9,7x-2y=57$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$7x+7\left(-1\right)y=7\times 9,7x-2y=57$$

פשט.

$$7x-7y=63,7x-2y=57$$

החסר את ‎7x-2y=57 מ- ‎7x-7y=63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-7x-7y+2y=63-57$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7y+2y=63-57$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎2y.

$$-5y=63-57$$

הוסף את ‎63 ל- ‎-57.

$$-5y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{6}{5} במקום y ב- ‎7x-2y=57. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=57$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{6}{5}.

$$7x+\frac{12}{5}=57$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$7x=\frac{273}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{39}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{5},y=-\frac{6}{5}$$