פתור את {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-5.

$$x-5=4y-20$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-5-4y=-20$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$x-4y=-20+5$$

חבר את ‎-20 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-15.

$$x-4y=-15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y+2$$

השתמש ב- ‎3y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-4y.

$$-y+2=-15$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=17$$

השתמש ב- ‎17 במקום y ב- ‎x=3y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times 17+2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎17.

$$x=51+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎51.

$$x=53$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=53,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-5.

$$x-5=4y-20$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-5-4y=-20$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$x-4y=-20+5$$

חבר את ‎-20 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-15.

$$x-4y=-15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=53,y=17$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=2$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- y-5.

$$x-5=4y-20$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$x-5-4y=-20$$

הוסף ‎5 משני הצדדים.

$$x-4y=-20+5$$

חבר את ‎-20 ו- ‎5 כדי לקבל ‎-15.

$$x-4y=-15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

החסר את ‎x-4y=-15 מ- ‎x-3y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+4y=2+15$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎4y.

$$y=2+15$$

הוסף את ‎2 ל- ‎15.

$$y=17$$

השתמש ב- ‎17 במקום y ב- ‎x-4y=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-4\times 17=-15$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎17.

$$x-68=-15$$

הוסף ‎68 לשני אגפי המשוואה.

$$x=53$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=53,y=17$$