פתור את {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎23y משני האגפים.

$$2x+y-23y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-23y כדי לקבל ‎-22y.

$$2x-22y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=89$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+89$$

השתמש ב- ‎-y+89 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-22y.

$$-24y+178=0$$

החסר ‎178 משני אגפי המשוואה.

$$-24y=-178$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{89}{12}$$

השתמש ב- ‎\frac{89}{12} במקום y ב- ‎x=-y+89. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

הוסף את ‎89 ל- ‎-\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎23y משני האגפים.

$$2x+y-23y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-23y כדי לקבל ‎-22y.

$$2x-22y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎23y משני האגפים.

$$2x+y-23y=0$$

כנס את ‎y ו- ‎-23y כדי לקבל ‎-22y.

$$2x-22y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

פשט.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

החסר את ‎2x-22y=0 מ- ‎2x+2y=178 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+22y=178$$

הוסף את ‎2y ל- ‎22y.

$$24y=178$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=\frac{89}{12}$$

השתמש ב- ‎\frac{89}{12} במקום y ב- ‎2x-22y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

הכפל את ‎-22 ב- ‎\frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

הוסף ‎\frac{979}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{979}{6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{979}{12}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$