פתור את {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=8$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+8$$

השתמש ב- ‎-y+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

הכפל את ‎40 ב- ‎-y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

הוסף את ‎-40y ל- ‎55y.

$$15y+320=410$$

החסר ‎320 משני אגפי המשוואה.

$$15y=90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-6.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎40x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎40 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

פשט.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

החסר את ‎40x+55y=410 מ- ‎40x+40y=320 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40y-55y=320-410$$

הוסף את ‎40y ל- ‎-55y.

$$-15y=320-410$$

הוסף את ‎320 ל- ‎-410.

$$-15y=-90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎40x+55y=410. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$40x+55\times 6=410$$

הכפל את ‎55 ב- ‎6.

$$40x+330=410$$

החסר ‎330 משני אגפי המשוואה.

$$40x=80$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=6$$