פתור את {c}{x+y=69}{2x+y=23}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 23 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-46$$

$$y=115$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=69,2x+y=23$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=69$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+69$$

השתמש ב- ‎-y+69 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=23.

$$2\left(-y+69\right)+y=23$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y+69.

$$-2y+138+y=23$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎y.

$$-y+138=23$$

החסר ‎138 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-115$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=115$$

השתמש ב- ‎115 במקום y ב- ‎x=-y+69. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-115+69$$

הוסף את ‎69 ל- ‎-115.

$$x=-46$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-46,y=115$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=69,2x+y=23$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+23\\2\times 69-23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\115\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-46,y=115$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=69,2x+y=23$$

החסר את ‎2x+y=23 מ- ‎x+y=69 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-2x+y-y=69-23$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-2x=69-23$$

הוסף את ‎x ל- ‎-2x.

$$-x=69-23$$

הוסף את ‎69 ל- ‎-23.

$$-x=46$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-46$$

השתמש ב- ‎-46 במקום x ב- ‎2x+y=23. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\left(-46\right)+y=23$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-46.

$$-92+y=23$$

הוסף ‎92 לשני אגפי המשוואה.

$$y=115$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-46,y=115$$