פתור את {c}{x+y=64}{0.12x-0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 0.12 x - 0.26 y = 0.19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{1683}{38} = 44\frac{11}{38} \approx 44.289473684$$

$$y = \frac{749}{38} = 19\frac{27}{38} \approx 19.710526316$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=64,0.12x-0.26y=0.19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=64$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+64$$

השתמש ב- ‎-y+64 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.12x-0.26y=0.19.

$$0.12\left(-y+64\right)-0.26y=0.19$$

הכפל את ‎0.12 ב- ‎-y+64.

$$-0.12y+7.68-0.26y=0.19$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{25} ל- ‎-\frac{13y}{50}.

$$-0.38y+7.68=0.19$$

החסר ‎7.68 משני אגפי המשוואה.

$$-0.38y=-7.49$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.38, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{749}{38}$$

השתמש ב- ‎\frac{749}{38} במקום y ב- ‎x=-y+64. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{749}{38}+64$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-\frac{749}{38}.

$$x=\frac{1683}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=64,0.12x-0.26y=0.19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&-0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.26}{-0.26-0.12}&-\frac{1}{-0.26-0.12}\\-\frac{0.12}{-0.26-0.12}&\frac{1}{-0.26-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&\frac{50}{19}\\\frac{6}{19}&-\frac{50}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64+\frac{50}{19}\times 0.19\\\frac{6}{19}\times 64-\frac{50}{19}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1683}{38}\\\frac{749}{38}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=64,0.12x-0.26y=0.19$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{3x}{25} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 64,0.12x-0.26y=0.19$$

פשט.

$$0.12x+0.12y=7.68,0.12x-0.26y=0.19$$

החסר את ‎0.12x-0.26y=0.19 מ- ‎0.12x+0.12y=7.68 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.12x-0.12x+0.12y+0.26y=7.68-0.19$$

הוסף את ‎\frac{3x}{25} ל- ‎-\frac{3x}{25}. האיברים ‎\frac{3x}{25} ו- ‎-\frac{3x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.12y+0.26y=7.68-0.19$$

הוסף את ‎\frac{3y}{25} ל- ‎\frac{13y}{50}.

$$0.38y=7.68-0.19$$

הוסף את ‎7.68 ל- ‎-0.19 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.38y=7.49$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.38, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{749}{38}$$

השתמש ב- ‎\frac{749}{38} במקום y ב- ‎0.12x-0.26y=0.19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.12x-0.26\times \frac{749}{38}=0.19$$

הכפל את ‎-0.26 ב- ‎\frac{749}{38} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.12x-\frac{9737}{1900}=0.19$$

הוסף ‎\frac{9737}{1900} לשני אגפי המשוואה.

$$0.12x=\frac{5049}{950}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.12, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{1683}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$