פתור את {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=500$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+500$$

השתמש ב- ‎-y+500 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

הכפל את ‎50 ב- ‎-y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

הוסף את ‎-50y ל- ‎80y.

$$30y+25000=28000$$

החסר ‎25000 משני אגפי המשוואה.

$$30y=3000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$y=100$$

השתמש ב- ‎100 במקום y ב- ‎x=-y+500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-100+500$$

הוסף את ‎500 ל- ‎-100.

$$x=400$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=400,y=100$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=400,y=100$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎50x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎50 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

פשט.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

החסר את ‎50x+80y=28000 מ- ‎50x+50y=25000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$50y-80y=25000-28000$$

הוסף את ‎50y ל- ‎-80y.

$$-30y=25000-28000$$

הוסף את ‎25000 ל- ‎-28000.

$$-30y=-3000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=100$$

השתמש ב- ‎100 במקום y ב- ‎50x+80y=28000. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$50x+80\times 100=28000$$

הכפל את ‎80 ב- ‎100.

$$50x+8000=28000$$

החסר ‎8000 משני אגפי המשוואה.

$$50x=20000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎50.

$$x=400$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=400,y=100$$