פתור את {c}{x+y=5}{3.3x+1.66y=-3.07}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { 3.3 x + 1.66 y = - 3.07 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{1137}{164} = -6\frac{153}{164} \approx -6.932926829$$

$$y = \frac{1957}{164} = 11\frac{153}{164} \approx 11.932926829$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=5,3.3x+1.66y=-3.07$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+5$$

השתמש ב- ‎-y+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3.3x+1.66y=-3.07.

$$3.3\left(-y+5\right)+1.66y=-3.07$$

הכפל את ‎3.3 ב- ‎-y+5.

$$-3.3y+16.5+1.66y=-3.07$$

הוסף את ‎-\frac{33y}{10} ל- ‎\frac{83y}{50}.

$$-1.64y+16.5=-3.07$$

החסר ‎16.5 משני אגפי המשוואה.

$$-1.64y=-19.57$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-1.64, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1957}{164}$$

השתמש ב- ‎\frac{1957}{164} במקום y ב- ‎x=-y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1957}{164}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{1957}{164}.

$$x=-\frac{1137}{164}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1137}{164},y=\frac{1957}{164}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=5,3.3x+1.66y=-3.07$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3.3&1.66\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.66}{1.66-3.3}&-\frac{1}{1.66-3.3}\\-\frac{3.3}{1.66-3.3}&\frac{1}{1.66-3.3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{83}{82}&\frac{25}{41}\\\frac{165}{82}&-\frac{25}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3.07\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{83}{82}\times 5+\frac{25}{41}\left(-3.07\right)\\\frac{165}{82}\times 5-\frac{25}{41}\left(-3.07\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1137}{164}\\\frac{1957}{164}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1137}{164},y=\frac{1957}{164}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=5,3.3x+1.66y=-3.07$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{33x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3.3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3.3x+3.3y=3.3\times 5,3.3x+1.66y=-3.07$$

פשט.

$$3.3x+3.3y=16.5,3.3x+1.66y=-3.07$$

החסר את ‎3.3x+1.66y=-3.07 מ- ‎3.3x+3.3y=16.5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3.3x-3.3x+3.3y-1.66y=16.5+3.07$$

הוסף את ‎\frac{33x}{10} ל- ‎-\frac{33x}{10}. האיברים ‎\frac{33x}{10} ו- ‎-\frac{33x}{10} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3.3y-1.66y=16.5+3.07$$

הוסף את ‎\frac{33y}{10} ל- ‎-\frac{83y}{50}.

$$1.64y=16.5+3.07$$

הוסף את ‎16.5 ל- ‎3.07 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.64y=19.57$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.64, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1957}{164}$$

השתמש ב- ‎\frac{1957}{164} במקום y ב- ‎3.3x+1.66y=-3.07. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3.3x+1.66\times \frac{1957}{164}=-3.07$$

הכפל את ‎1.66 ב- ‎\frac{1957}{164} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3.3x+\frac{162431}{8200}=-3.07$$

החסר ‎\frac{162431}{8200} משני אגפי המשוואה.

$$3.3x=-\frac{37521}{1640}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{1137}{164}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1137}{164},y=\frac{1957}{164}$$