פתור את {c}{x+y=27a}{0.08x+0.13y=32.9}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 a } \\ { 0.08 x + 0.13 y = 32.9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{351a}{5}-658$$

$$y=-\frac{216a}{5}+658$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=27a,0.08x+0.13y=32.9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=27a$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+27a$$

השתמש ב- ‎-y+27a במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.08x+0.13y=32.9.

$$0.08\left(-y+27a\right)+0.13y=32.9$$

הכפל את ‎0.08 ב- ‎-y+27a.

$$-0.08y+\frac{54a}{25}+0.13y=32.9$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{25} ל- ‎\frac{13y}{100}.

$$0.05y+\frac{54a}{25}=32.9$$

החסר ‎\frac{54a}{25} משני אגפי המשוואה.

$$0.05y=-\frac{54a}{25}+\frac{329}{10}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=-\frac{216a}{5}+658$$

השתמש ב- ‎658-\frac{216a}{5} במקום y ב- ‎x=-y+27a. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-\frac{216a}{5}+658\right)+27a$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎658-\frac{216a}{5}.

$$x=\frac{216a}{5}-658+27a$$

הוסף את ‎27a ל- ‎-658+\frac{216a}{5}.

$$x=\frac{351a}{5}-658$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{351a}{5}-658,y=-\frac{216a}{5}+658$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=27a,0.08x+0.13y=32.9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-0.08}&-\frac{1}{0.13-0.08}\\-\frac{0.08}{0.13-0.08}&\frac{1}{0.13-0.08}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6&-20\\-1.6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27a\\32.9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6\times 27a-20\times 32.9\\-1.6\times 27a+20\times 32.9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{351a}{5}-658\\-\frac{216a}{5}+658\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{351a}{5}-658,y=-\frac{216a}{5}+658$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=27a,0.08x+0.13y=32.9$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{2x}{25} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.08 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$0.08x+0.08y=0.08\times 27a,0.08x+0.13y=32.9$$

פשט.

$$0.08x+0.08y=\frac{54a}{25},0.08x+0.13y=32.9$$

החסר את ‎0.08x+0.13y=32.9 מ- ‎0.08x+0.08y=\frac{54a}{25} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.08x-0.08x+0.08y-0.13y=\frac{54a}{25}-32.9$$

הוסף את ‎\frac{2x}{25} ל- ‎-\frac{2x}{25}. האיברים ‎\frac{2x}{25} ו- ‎-\frac{2x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.08y-0.13y=\frac{54a}{25}-32.9$$

הוסף את ‎\frac{2y}{25} ל- ‎-\frac{13y}{100}.

$$-0.05y=\frac{54a}{25}-32.9$$

הוסף את ‎\frac{54a}{25} ל- ‎-32.9.

$$-0.05y=\frac{54a}{25}-\frac{329}{10}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=-\frac{216a}{5}+658$$

השתמש ב- ‎658-\frac{216a}{5} במקום y ב- ‎0.08x+0.13y=32.9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.08x+0.13\left(-\frac{216a}{5}+658\right)=32.9$$

הכפל את ‎0.13 ב- ‎658-\frac{216a}{5}.

$$0.08x-\frac{702a}{125}+\frac{4277}{50}=32.9$$

החסר ‎\frac{4277}{50}-\frac{702a}{125} משני אגפי המשוואה.

$$0.08x=\frac{702a}{125}-\frac{1316}{25}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.08, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{351a}{5}-658$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{351a}{5}-658,y=-\frac{216a}{5}+658$$