פתור את {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=21$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+21$$

השתמש ב- ‎-y+21 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

הכפל את ‎0.25 ב- ‎-y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

הוסף את ‎-\frac{y}{4} ל- ‎\frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

החסר ‎5.25 משני אגפי המשוואה.

$$-0.2y=-1.9$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=9.5$$

השתמש ב- ‎9.5 במקום y ב- ‎x=-y+21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-9.5+21$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-9.5.

$$x=11.5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11.5,y=9.5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=11.5,y=9.5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{x}{4} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.25 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

פשט.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

החסר את ‎0.25x+0.05y=3.35 מ- ‎0.25x+0.25y=5.25 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

הוסף את ‎\frac{x}{4} ל- ‎-\frac{x}{4}. האיברים ‎\frac{x}{4} ו- ‎-\frac{x}{4} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

הוסף את ‎\frac{y}{4} ל- ‎-\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

הוסף את ‎5.25 ל- ‎-3.35 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.2y=1.9$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=9.5$$

השתמש ב- ‎9.5 במקום y ב- ‎0.25x+0.05y=3.35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

הכפל את ‎0.05 ב- ‎9.5 על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.25x+0.475=3.35$$

החסר ‎0.475 משני אגפי המשוואה.

$$0.25x=2.875$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=11.5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11.5,y=9.5$$