פתור עבור x, y
x=2
y=4
גרף
שתף
הועתק ללוח
x+3y=14,4x-y=4
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
x+3y=14
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
x=-3y+14
החסר 3y משני אגפי המשוואה.
4\left(-3y+14\right)-y=4
השתמש ב- -3y+14 במקום x במשוואה השניה, 4x-y=4.
-12y+56-y=4
הכפל את 4 ב- -3y+14.
-13y+56=4
הוסף את -12y ל- -y.
-13y=-52
החסר 56 משני אגפי המשוואה.
y=4
חלק את שני האגפים ב- -13.
x=-3\times 4+14
השתמש ב- 4 במקום y ב- x=-3y+14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=-12+14
הכפל את -3 ב- 4.
x=2
הוסף את 14 ל- -12.
x=2,y=4
המערכת נפתרה כעת.
x+3y=14,4x-y=4
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=2,y=4
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
x+3y=14,4x-y=4
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4
כדי להפוך את x ו- 4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 1.
4x+12y=56,4x-y=4
פשט.
4x-4x+12y+y=56-4
החסר את 4x-y=4 מ- 4x+12y=56 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
12y+y=56-4
הוסף את 4x ל- -4x. האיברים 4x ו- -4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
13y=56-4
הוסף את 12y ל- y.
13y=52
הוסף את 56 ל- -4.
y=4
חלק את שני האגפים ב- 13.
4x-4=4
השתמש ב- 4 במקום y ב- 4x-y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
4x=8
הוסף 4 לשני אגפי המשוואה.
x=2
חלק את שני האגפים ב- 4.
x=2,y=4
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}