פתור את {c}{x+2y=50}{2x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y = 50 } \\ { 2 x + y = 40 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=50$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+50$$

השתמש ב- ‎-2y+50 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=40.

$$2\left(-2y+50\right)+y=40$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+50.

$$-4y+100+y=40$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎y.

$$-3y+100=40$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎x=-2y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 20+50$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎20.

$$x=-40+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-40.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 50+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{2}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=20$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 2y=2\times 50,2x+y=40$$

פשט.

$$2x+4y=100,2x+y=40$$

החסר את ‎2x+y=40 מ- ‎2x+4y=100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+4y-y=100-40$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-y=100-40$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-y.

$$3y=100-40$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-40.

$$3y=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=20$$

השתמש ב- ‎20 במקום y ב- ‎2x+y=40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+20=40$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$2x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=20$$