פתור את {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$8x+6y=-10$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$8x=-6y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎-6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-5y.

$$y+10=15$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

כדי להפוך את ‎8x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

פשט.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

החסר את ‎-64x-40y=120 מ- ‎-64x-48y=80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

הוסף את ‎-64x ל- ‎64x. האיברים ‎-64x ו- ‎64x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-48y+40y=80-120$$

הוסף את ‎-48y ל- ‎40y.

$$-8y=80-120$$

הוסף את ‎80 ל- ‎-120.

$$-8y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎-8x-5y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x-5\times 5=15$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎5.

$$-8x-25=15$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=5$$