פתור את {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+5y=54$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-5y+54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+54}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{7} ל- ‎4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

החסר ‎\frac{162}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{7} ב- ‎8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

הוסף את ‎\frac{54}{7} ל- ‎-\frac{40}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

פשט.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

החסר את ‎21x+28y=266 מ- ‎21x+15y=162 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

הוסף את ‎21x ל- ‎-21x. האיברים ‎21x ו- ‎-21x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-28y=162-266$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-28y.

$$-13y=162-266$$

הוסף את ‎162 ל- ‎-266.

$$-13y=-104$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎3x+4y=38. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\times 8=38$$

הכפל את ‎4 ב- ‎8.

$$3x+32=38$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=8$$