פתור את {c}{6x-2y=5}{3x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-2y=5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎2y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{3}+\frac{5}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=2.

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}\right)-2y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{3}+\frac{5}{6}.

$$y+\frac{5}{2}-2y=2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-2y.

$$-y+\frac{5}{2}=2$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{6}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1+5}{6}$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎\frac{1}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{6}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{2}\times 5-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

החסר את ‎3x-2y=2 מ- ‎6x-2y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-3x-2y+2y=5-2$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6x-3x=5-2$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-3x.

$$3x=5-2$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-2.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎3x-2y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3-2y=2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$