פתור את {c}{51=a2^0+c}{13.5=a2^1+c}

$$\left. \begin{array} { c } { 51 = a 2 ^ { 0 } + c } \\ { 13.5 = a 2 ^ { 1 } + c } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, c

$$a=-37.5$$

$$c=88.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. חשב את 2 בחזקת 0 וקבל 1.

$$51=a\times 1+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 1+c=51$$

סדר מחדש את האיברים.

$$a+c=51$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 2 בחזקת 1 וקבל 2.

$$13.5=a\times 2+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 2+c=13.5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+c=51,2a+c=13.5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+c=51$$

החסר ‎c משני אגפי המשוואה.

$$a=-c+51$$

השתמש ב- ‎-c+51 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎2a+c=13.5.

$$2\left(-c+51\right)+c=13.5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-c+51.

$$-2c+102+c=13.5$$

הוסף את ‎-2c ל- ‎c.

$$-c+102=13.5$$

החסר ‎102 משני אגפי המשוואה.

$$-c=-88.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$c=88.5$$

השתמש ב- ‎88.5 במקום c ב- ‎a=-c+51. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-88.5+51$$

הוסף את ‎51 ל- ‎-88.5.

$$a=-37.5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-37.5,c=88.5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. חשב את 2 בחזקת 0 וקבל 1.

$$51=a\times 1+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 1+c=51$$

סדר מחדש את האיברים.

$$a+c=51$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 2 בחזקת 1 וקבל 2.

$$13.5=a\times 2+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 2+c=13.5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+c=51,2a+c=13.5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}51\\13.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-51+13.5\\2\times 51-13.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-37.5\\88.5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- c.

$$a=-37.5,c=88.5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. חשב את 2 בחזקת 0 וקבל 1.

$$51=a\times 1+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 1+c=51$$

סדר מחדש את האיברים.

$$a+c=51$$

שקול את המשוואה השניה. חשב את 2 בחזקת 1 וקבל 2.

$$13.5=a\times 2+c$$

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a\times 2+c=13.5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+c=51,2a+c=13.5$$

החסר את ‎2a+c=13.5 מ- ‎a+c=51 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-2a+c-c=51-13.5$$

הוסף את ‎c ל- ‎-c. האיברים ‎c ו- ‎-c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$a-2a=51-13.5$$

הוסף את ‎a ל- ‎-2a.

$$-a=51-13.5$$

הוסף את ‎51 ל- ‎-13.5.

$$-a=37.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$a=-37.5$$

השתמש ב- ‎-37.5 במקום a ב- ‎2a+c=13.5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$2\left(-37.5\right)+c=13.5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-37.5.

$$-75+c=13.5$$

הוסף ‎75 לשני אגפי המשוואה.

$$c=88.5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-37.5,c=88.5$$