פתור את {c}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=6$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{4} ל- ‎7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{23}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{6}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{23} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎\frac{6}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{15}{46} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{27}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

פשט.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

החסר את ‎4x+28y=12 מ- ‎4x+5y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-28y=6-12$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-28y.

$$-23y=6-12$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-12.

$$-23y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-23.

$$y=\frac{6}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{6}{23} במקום y ב- ‎x+7y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

החסר ‎\frac{42}{23} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{27}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$