פתור את {c}{4x+3y=13}{x+3y=10}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=13$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+13}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=10.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

החסר ‎\frac{13}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

הוסף את ‎\frac{13}{4} ל- ‎-\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

החסר את ‎x+3y=10 מ- ‎4x+3y=13 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-x=13-10$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-x.

$$3x=13-10$$

הוסף את ‎13 ל- ‎-10.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎x+3y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$1+3y=10$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3y=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=3$$