פתור את {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

הכפל את ‎16 ב- ‎-\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-y.

$$-9y+32=14$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$-9y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=-1+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-1.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎16x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎16 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

פשט.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

החסר את ‎64x-4y=56 מ- ‎64x+32y=128 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

הוסף את ‎64x ל- ‎-64x. האיברים ‎64x ו- ‎-64x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y+4y=128-56$$

הוסף את ‎32y ל- ‎4y.

$$36y=128-56$$

הוסף את ‎128 ל- ‎-56.

$$36y=72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎16x-y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$16x-2=14$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$16x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$